Свойства
на
функцията
на
Лагранж
и
на
уравненията
на
Лагранж
1.
Ако
една
механична
система
се
състои
от
две
невзаимодействащи
помежду
си
подсистеми
с
функции
на
Лагранж
L
1
и
L
2
,
то
функцията
на
лагранж
за
цялата
система
е
L = L
1
+
L
2
.
2.
Вследствие
на
линейноостта
на
уравненията
на
Лагранж
,
умножаването
на
функцията
на
лагранж
с
константа
не
променя
уравненията
.
3.
Добавянето
на
пълна
производна
по
времето
от
произволна
функция
на
координатите
и
времето
не
променя
уравненията
.
Това
е
следствие
от
факта
,
че
интегралът
от
пълната
производна
добавя
константа
към
действието
,
и
вариация
на
константата
е
тъждествено
нула
.
4.
Уравненията
на
Лагранж
(
за
разлика
от
тези
на
Нютон
)
са
инвариантни
по
отношение
на
смяна
на
обобщените
координати
.
Това
може
да
се
докаже
експлицитно
,
но
следва
и
от
факта
,
че
функцията
на
Лагранж
L = T – U
като
скаларна
функция
запазва
вида
си
при
всеки
избор
на
обобщените
координати
.
5.
Докато
нютоновата
механика
разглежда
ефектите
на
външни
сили
върху
телата
,
то
лагранжовата
механика
разглежда
само
величини
свързани
със
самото
тяло
(
кинетична
и
потенциална
енергия
).
6.
Нютоновата
механика
се
занимава
с
векторни
величини
,
докато
лагранжовата
механика
работи
изцяло
със
скаларни
величини
.
7.
В
много
случаи
е
невъзможно
да
се
зададат
експлицитно
действащите
сили
(
като
например
силите
на
реакция
на
връзките
),
докато
е
в
същото
време
е
възможно
да
се
напишат
изрази
за
кинетичната
и
потенциалната
енергия
.
Закони
за
запазване
в
лагранжовата
механика
Уравненията
на
Лагранж
от
II
род
са
s
обикновени
диференциални
уравнения
от
втори
ред
за
s
неизвестни
обобщени
координати
.
Общото
решение
зависи
от
2
s
неопределени
константи
.
Частните
решения
се
определят
от
началните
условия
–
обобщените
координати
и
обобщените
скорости
в
даден
(
начален
)
момент
.
Пръв
интеграл
на
движение
е
всяка
функция
на
обобщените
координатите
,
обобщените
скорости
и
15
времето
,
която
остава
постоянна
при
движението
на
системата
.
Такива
първи
интеграли
са
законите
за
запазване
на
обобщения
импулс
и
обобщената
енергия
.
Обобщен
импулс
наричаме
величината
На
всяка
обобщена
координата
q
j
отговаря
съответен
обобщен
импулс
p
j
.
За
една
материална
точка
декартови
координати
p
j
=
∂
L
/
∂
j
= m
j
обобщеният
импулс
съвпада
със
съответната
компонента
на
импулса
.
В
криволинейни
координати
обобщеният
импулс
p
j
може
да
няма
размерност
на
импулс
.
Например
,
в
цилиндрични
координати
обобщеният
импулс
p
φ
= M
z
съвпада
със
z
компонентата
на
момента
на
импулса
.
Ако
L
не
съдържа
някоя
координата
q
j
,
то
тази
координата
се
нарича
циклична
.
Уравнението
на
Лагранж
за
тази
координата
има
вид
0
0
→
→
p
j
=
const
Последното
равенство
изразява
закона
за
запазване
на
обобщения
импулс
:
ако
една
координата
е
циклична
,
то
съответният
обобщен
импулс
се
запазва
(
той
е
пръв
интеграл
ба
движението
).
Наличието
на
циклична
координата
означава
,
че
уравненията
на
Лагранж
остават
инвариантни
при
трансформация
на
тази
координата
.
Следователно
,
запазването
на
даден
обобщен
импулс
може
да
се
свърже
с
инвариантността
на
системата
спрямо
трансформации
на
съответната
циклична
координата
.
Обобщени
импулси
на
свободна
материална
точка
под
действие
на
потенциални
сили
в
цилиндрични
координати
:
В
сферични
координати
:
16
Закон
за
запазване
на
енергията
.
Да
разгледаме
система
с
холономни
идеални
връзки
и
потенциални
сили
,
която
има
s
степени
на
свобода
.
Да
пресметнем
пълната
производна
на
функцията
на
Лагранж
повремето
:
Ако
функцията
на
Лагранж
не
зависи
явно
от
времето
∂
L
/
∂
t
= 0
Замествайки
в
това
уравнение
∂
L
/
∂
j
уравненията
на
Лагранж
получаваме
или
.
Следователно
величината
е
постоянна
по
времето
(
пръв
интеграл
на
движението
).
За
консервативни
системи
U=U
(
q
)
и
Следователно
запазващата
се
величина
съвпада
с
пълната
механична
енергия
на
системата
.
Така
законът
за
запазване
на
енергията
е
следствие
от
липсата
на
явна
зависимост
на
функцията
на
Лагранж
от
времето
,
т
.
е
.
от
инвариантноста
на
тази
функция
по
отношение
на
трансформация
на
времето
(
временна
транслация
).
17
Свойства на функцията на Лагранж и на уравненията на Лагранж
Времето, която остава постоянна при движението на системата. Такива първи интеграли са законите за запазване на обобщения импулс и обобщената енергия...Свойства на функцията на Лагранж и на уравненията на Лагранж
| Предмет: | Теоретична механика, Механика |
| Тип: | Лекции |
| Брой страници: | 10 |
| Брой думи: | 570 |
| Брой символи: | 3698 |