Име:

Ради Георгиев Димитров

ФН:

121208122

Факулте
т:

ФКСУ

Група: 61А

Дата:

07.03.2010г.

Протокол  1                      Сигнали и системи

№

                                               УПРАЖНЕНИЕ      1

№

СПЕКТРАЛЕН АНАЛИЗ НА ПЕРИОДИЧНИ СИГНАЛИ

1. Теория:

Периодични са тези сигнали, за които е изпълнено условието  s (t)= s (t ± kT), при  ­

 и k= 1,2,3, ... , където Т е периодът им на повторение. Периодичните 

импулси представляват подмножество на множеството на периодичните сигнали. 
При тях   <<Т,   е продължителността на импулсите. Голяма част от  периодичните

τ

τ

сигнали могат да се приемат като периодични в краен интервал от време, като 
получаваме резултати с достатъчно голяма точност от анализа им. 
Ако произволен периодичен сигнал   s (t) с период   T , отговаря на условията на 
Дирихле за ограниченост и интегруемост, то той може да се представи като сума от 
безкраен брой синусоиди и косинусоиди с определена честота и амплитуда, като се 
разложи в ред на Фурие.   
Спектралният анализ на сигнала  дава оценка за амплитудите и фазите на 
отделните хармоници, изграждащи сигнала. 
Пълна тригонометрична форма на реда на Фурие: s(t)= 

,

където:  

Кратка тригонометрична форма на реда на Фурие : 

,

където: 

.

 ;  

 ; 

; 

Честотната зависимост на амплитудите и фазите на хармоничните съставки се 
нарича съответно 

спектър на амплитудите и фазите

. Графичното изображение на 

спектъра се нарича 

спектрална диаграма

.  Амплитудно­честотната и фазово­

честотната спектрална диаграма представляват графики на честотните зависимости 

на коефициентите 

и фазите 

от реда на Фурие. Те имат дискретен характер. 
Синусоидните и косинусоидните функции, които са базисни при разлагането на 
сложни сигнали,  имат следните свойства:
1. Инвариантност по отношение на преобразуванията в линейните електрически 
вериги с постоянни параметри. 

2. Възможно е точно разлагане на елементарни ортогонални функции , които от своя 
страна не могат да се представят с други съставки. 

За практически цели се приема, че периодичните сигнали могат да бъдат с крайни 
спектри, тъй като хармоничните съставки в реда на Фурие, с по­голям  от даден 
номер n, имат пренебрежително малки стойности. Този номер се определя от  израза 

 .

Спектрите на периодичните сигнали имат следните свойства:

1. Ако сигналът s (t) се описва с четна функция, синусоидните съставки в реда на 
Фурие са нули, ако се описва с нечетна то косинусоидните съставки са нули.
2. Ако площите на фигурите в положителната и отрицателната част на сигнала са 
равни, то постоянната съставка 

 ;

3. Транслирането на функцията s(t) по ординатната  ос променя само постоянната 
съставка, а транслирането й по абцисната ос променя фазата на отделните 
хармонични съставки.
4. Ако сигналът представлява сума от по­прости сигнали, коефициентите 

 от 

неговото разлагане в ред на Фурие са суми от съответните коефициенти на 
хармоничните съставки на тези сигнали.

Тъй като електрическите вериги се описват с комплексни числа, това налага 
използването на 

комплексна форма на реда на Фурие

: 

;

­

­

 ; 

­

­

­

Спектралната диаграма на периодичния сигнал е симетрична относно началото на 
координатната система и съдържа съставки с отрицателни честоти. Отрицателните 
честоти нямат физически смисъл, а математически, произтичащ от начина на 
представяне на комплексните числа. Съответните събираеми с положителни и 

отрицателни  честоти образуват комплексно спрегнати двойки.  
За компютърни изчисления на спектъра е необходимо да се използват дискретни по 
отношение на времето и честотата сигнали, затова се ползват 

дискретни 

преобразувания на Фурие 

(изразяват връзката м/у даден дискретен сигнал и неговия 

спектър)

. 

Право дискретно преобразуване на Фурие:

­ 
­Т­ интервал на дискретизация; n­номер на дискретния отчет на сигнала; N­ броят на 
дискретните отчети на сигнала; к­номер на съставката в дискретния спектър;  =

Ω

  ­ интервал м/у две съседни съставки в дискретния спектър; Tc = nT –

продължителност на сигнала;

Обратно дискретно преобразуване на Фурие:

­ 

Бързо дискретно преобразуване на Фурие:

Бързото преобразуване на Фурие е възможно да се реализита по различни 
алгоритми, в зависимост от задачата. Ако дискретите се разгледат като редица, от 
нея по определен критерий могат да бъдат създадени две други редици­ такава на 
дискретите с четни номера и такава с нечетни. Така създадените редици се 
разделят отново по същия принцип, докато се достигне минимален брой на 
дискретите в тях. Този начин се нарича разделяне по време. Оптимален е вариантът, 
когато броят на дискретите N е точно степен на 2.

Един от най­често използваните тестови периодични сигнали е 

поредицата 

правоъгълни импулси

. За такъв сигнал е валидно: 

= kA ; 

 , 

k=  /Т –

τ

коефициент на запълвне;  n=1,2,3,... 
За спектъра на тези сигнали могат да се направят следните изводи:
1. Периодичните правоъгълни импулси притежават богат спектрален съства, като 
колкото е по­малка продължителността на импулсите  от една периодична импулсна 
поредица, толкова по­богат е нейния спектър.
2. Хармоничните съставки с малък номер съдържат основната част от спектъра на 
периодичния сигнал. 
3. Всички хармонични съставки в спектъра на правоъгълните периодични сигнали, 
чиито номер n удовлетворява изискването nk=1,2,3,...    са нули.
4. Фронтовете на правоъгълния импулс се определят от висшите хармонични 
съставки в спектъра, а хоризонталните участъци­ от хармоничните съставки с малки 
номера.