Изпитен вариант по ВМ3 - редовна сесия
1 задача:
a) Да се реши диференциалното уравнение: y′′ - 3.y′ + 2.y = 3.e
2.x
;
б) Да се намери симетичната точка на т.А (2,1,3) относно равнината α: x +
y + 2.z - 3 = 0;
Решение: а) r
2
- 3.r + 2 = 0, D = 1, r
1
= 1, r
2
= 2; z = c
1
.e
x
+ c
2
.e
2.x
;
y
1
= 3.e
2.x
и y
1
= А.x.e
2.x
(полинома); y
1
′ = e
2.x
.(A + 2.A.x), y
1
′′ = e
2.x
.(4.A +
4.A.x); => e
2.x
.(4.A + 4.A.x) - 3. e
2.x
.(A + 2.A.x) + 2.А.x.e
2.x
= 3. e
2.x
; e
2.x
.(4.A +
4.A.x - 3.A - 6.A.x + 2.A.x) = 3. e
2.x
=> A = 3;
y
1
= 3.x.e
2.x
=>
y = z + y
1
= c
1
.e
x
+ c
2
.e
2.x
+ 3.x.e
2.x
;
б) r = (2.i + j + 3.k) + (i + j + 2.k).t => x = 2 + t, y = 1 + t, z = 3 + 2.t =
=> 2 + t + 1 + t + 6 + 4.t - 3 = 0 => t = -1 => x = 1, y = 0, z = 1 => т. B (1,0,1);
=> т. B е среда на АC => (x
A
+ x
C
)/2 = x
B
=> x
C
= 0, (y
A
+ y
C
)/2 = y
B
=> y
C
=
-1, (z
A
+ z
C
)/2 = z
B
=> z
C
= -1 => симетричната е т. C (0,-1,-1).
2 задача:
Да се реши интеграла:
dy
dx
y
x
.
.
sin
2
2
∫∫
+
, D = {π
2
≤ x
2
+ y
2
≤ 4.π
2
};
Решение: x = ρ.cos(θ), y = ρ.sin(θ), Δ = ρ;
(
) (
)
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
=
Θ
=
Θ
=
Θ
Θ
+
Θ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
.
2
0
.
2
.
2
.
2
0
2
.
2
.
2
0
2
2
).
sin(
.
.
.
.
sin
.
.
.
)
sin(
.
)
cos(
.
sin
.
d
d
d
d
d
d
(
)
[
]
2
.
2
.
2
.
6
)
0
0
.
2
.(
.
2
)
sin(
)
)
cos(
.
(
.
.
2
π
π
π
π
ρ
ρ
ρ
π
π
π
π
π
−
=
−
+
−
−
=
+
−
=
3 задача:
Да се реши интеграла:
∫
+
+
)
(
.
.
.
.
.
.
c
dz
y
x
dy
z
x
dx
z
y
, където (c): x =
a.cos(t), y = a.sin(t), z = t/(2.π), 0 ≤ t ≤ 2.π;
Решение: x′ = -a.sin(t), y′ = a.cos(t), z′ = 1/(2.π) =
=>
∫
+
+
−
π
π
π
π
.
2
0
)].
cos(
.
.
.
2
1
).
sin(
.
)
cos(
.
.
.
2
).
cos(
.
))
sin(
.
.(
.
2
).
sin(
.
[
dt
t
a
t
a
t
a
t
t
a
t
a
t
t
a
=
Упражнение над диференциални уравнения
Изпитен вариант 1 по ВМ 3-част от ТУ-Варна. 1. Да се реши диференциалното уравнение...Упражнение над диференциални уравнения
| Предмет: | Математика |
| Тип: | Упражнения |
| Брой страници: | 2 |
| Брой думи: | 142 |
| Брой символи: | 863 |