Анализ на времеви 

(динамични) редове – 

изследване на основните 

компоненти. Методи за 

изследване на основната 

тенденция – верижни 

средни, аналитичен метод 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

1 

Изследване на 

основната тенденция 

•

Методите  за  изследване  на  тенденцията  на  развитие  се  основават  на 

допускането,  че  компонентите  тренд,  случайни  колебания  и  сезонни 

колебания са свързани помежду си с адитивна връзка 

•

 

Моделирането  на  тренда  е  неговото  математическо  описване  чрез 

подходяща аналитична функция, съдържаща числено оценени параметри 

•

Процедурата  на  описване  на  тренда  се  нарича  изглаждане  на 

динамичния ред 

•

В  резултат  на  изглаждането  се  получават  нови  членове  на  динамичния 

ред,  каквито  той  би  имал,  ако  явлението  се  развива  плавно,  следвайки 

заложената в него трайна тенденция, без случайни колебания 

•

Въз основа на резултатите от изглаждането могат да се правят прогнози 

•

Основните методи за изглаждане на тренда са: графичен метод, метод на 

прегрупирането, метод на верижните средни, аналитичен метод 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

 2 

Проверка за наличие на тренд 

•

Първата стъпка при изучаване на тенденцията на развитие е да се установи наличието 

на тренд. 

•

За  установяване  на  наличие  на  тенденция  на  развитие  в  даден  времеви  ред  се 

използват: 



 

графичен метод – построява се линейна диаграма на развитие 



 

на  абсцисната  ос  се  поставя  времето,  а  на  ординатната  ос  –  обемите  на 

наблюдаваното явление през отделните периоди 



 

предимства:  удобен  и  бърз  начин  за  установяване  наличието  на  тенденция  в 

изучавания динамичен ред 



 

недостатъци: не винаги от диаграмата на развитие може да се види достатъчно 

ясно дали има тренд или не 



 

рангов коефициент на корелация на Спирман и рангов коефициент на корелация на 

Пирсън 



 

могат да приемат стойност между -1 и 1   



 

използват се за кратки динамични редове 



 

за  да  се  установи  наличието  на  тренд,  се  прави  проверка  за  статистическата 

значимост на коефициентите 



 

коефициент на автокорелация  от първи порядък:   

r

1

 = 

∑

𝑌

𝑖

𝑌

𝑖−1

𝑁

𝑖=2

 

−

 

1

𝑁

 

−1

∑

𝑌

𝑖

∑

𝑌

𝑖

𝑁

𝑖=2

𝑁

 

−1

𝑖=1

(

∑

𝑌

𝑖

2

𝑁−1

𝑖=1

 

−

 

1

𝑁

 

−1

(

∑

𝑌

𝑖

𝑁−1

𝑖=1

)

2

)(

∑

𝑌

𝑖

2

𝑁

𝑖=2

 

−

 

1

𝑁

 

−1

(

∑

𝑌

𝑖

𝑁

𝑖=2

)

2

)

 



 

ако  изследваният  времеви  ред  не  съдържа  тенденция  на  развитие,  членовете 

му са независими помежду си, т.е. няма автокорелация 

 3 

Метод на верижните средни 

•

Прилага се, когато се разполага с информация за по-продължителен период 

•

Използва  се  свойството  на  средната  да  неутрализира  отклоненията  спрямо  общото, 

типичното 

•

Всеки  член  на  реда  се  замества  последователно  със  средна,  изчислена  от  дадения 

член  и  съседните  му  членове,  като  последователно  се  изпуска  по  един  член  и  се 

добавя друг.  

•

За  предпочитане  е  верижните  средни  да  се  изчисляват  от  нечетен  брой  членове, 

защото, ако са изчислени от четен брой членове, изгладените стойности се изместват 

и се намират между равнищата на изглажданите величини 

•

Ако  все  пак  характеристиките  на  реда  налагат  верижните  средни  да  се  изчислят  от 

четен брой членове, тогава получените изместени изгладени стойности трябва да се 

центрират чрез изчисляване от тях на нови верижни двучленни средни  

•

Недостатъци на метода: 



 

прилага се по един и същи начин независимо от вида на изглаждания ред 



 

прилагането  му  води  до  загуба  на  информация  поради  намаляване  на  броя  на 

членовете в началото и в края на изгладения ред (с два - при тричленни верижни 

средни, с четири - при петчленни верижни средни и т.н.) 



 

при  наличие  на  цикъл  в  изглаждания  ред  и  ако  величината  на  периода  на 

изглаждане е 1,5 пъти по-голяма от дължината на цикъла, настъпва изменение на 

цикъла в обратна посока 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

4 

Метод на верижните средни 

•

Ако има цикличност, дължината на периода, от който се изчисляват 

средните, трябва да съвпада с дължината на цикличното колебание 

•

Изчислените средни представляват изгладените стойности 

•

Предимство на метода е, че може да се прилага както към редове с 

линейна тенденция на развитие, така и към такива с нелинейна 

•

Изглаждане на реда с тричленни верижни средни има вида: 

 

5 

t

1

 

y

1

 

-  

t

2

 

y

2

 

t

3

 

y

3

 

… 

… 

       ………………………. 

t

N-1

 

y

N-1

 

t

N

 

y

N

 

-  

Аналитичен метод за изследване на 

тенденцията 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

6 

Аналитичен метод за 

изследване на тенденцията 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

7 

(Y=a

0 

+ a

1

t) 

Аналитичен метод за 

изследване на тенденцията 

Na

0

 

а

0

 

а

1

 



 

праволинейният  трендови  модел  е  подходящ  за  моделиране  на  тенденцията,  когато 

изследваното  явление  се  изменя  с  постоянен  абсолютен  прираст  през  изследвания 

период 

 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

8 

Съкратен аналитичен метод за 

изследване на тенденцията на развитие   

При нечетен брой членове на реда 

години 

Размер на 

продажбите 

(Y

i

) 

t

i

 

2000 

200 

-5 

2001 

215 

-4 

2002 

220 

-3 

2003 

217 

-2 

2004 

219 

-1 

2005 

216 

0 

2006 

214 

1 

2007 

220 

2 

2008 

222 

3 

2009 

218 

4 

2010 

215 

5 

При  четен  брой  членове  на  реда  - 

номерацията  на  променливата  за 

времето  започва  от  средата  на  реда 

като  се  пропуска  нулата  и  номерата  се 

изменят през две единици 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

9 

години 

Размер на 

продажбите 

(Y

i

) 

t

i

 

2001 

215 

-9 

2002 

220 

-7 

2003 

217 

-5 

2004 

219 

-3 

2005 

216 

-1 

2006 

214 

1 

2007 

220 

3 

2008 

222 

5 

2009 

218 

7 

2010 

215 

9 

Аналитичен метод за 

изследване на тенденцията 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

10 

модела 

а

0

 

показва къде трендовата линия пресича ординатната ос 

а

1

 

показва средния абсолютен прираст за изследвания период, 

а

1

 

показва каква е тенденцията на развитие: 



a

1

 > 0

 



a

1

 < 0

 



a

1

 = 0

 

(т.е. редът е стационарен) 

- 1 

Аналитичен метод за 

изследване на тенденцията 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

11 

•

Ако изменението във времето на изследваната променлива може да се опише графично 

чрез парабола, тенденцията се описва най-добре от полином от втора степен -  

       Y = a

0

 + a

1

t

 

+ a

2

t

2

 

•

За да се намерят параметрите на функцията по аналитичния метод, се използва методът 

на най-малките квадрати, като се съставя система от три уравнения: 

 

 

 

 

•

За  облекчаване  на  изчислителните  процедури,  може  да  се  използва  съкратеният 

аналитичен  метод  като  променливата  за  времето  (t)  се  зададе  така,  че  сумата  от 

стойностите й да бъде равна на 0. 



 

в  този  случай 

∑ 𝑡

𝑖

 

и 

∑ 𝑡

𝑖

3

 

ще  бъдат  равни  на  0  и  съответно  коефициентите  на 

функцията могат да се изчислят по формулите: 

a

1

 = 

∑

𝑌

𝑖

𝑡

𝑖

𝑁

𝑖=1

∑

𝑡

𝑖

2

𝑁

𝑖=1

              

а

0

 = 

∑

𝑡

𝑖

4

𝑁

𝑖=1

∑

𝑌

𝑖

𝑁

𝑖=1

 

−

 

∑

𝑡

𝑖

2

𝑁

𝑖=1

∑

𝑡

𝑖

2

𝑌

𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑁 ∑

𝑡

𝑖

4

𝑁

𝑖=1

 

−

(

∑

𝑡

𝑖

2

𝑁

𝑖=1

)

2

             a

2 

 = 

∑

𝑌

𝑖

𝑁

𝑖=1

 

−𝑁𝑎

0

∑

𝑡

𝑖

2

𝑁

𝑖=1

 

•

След  като  се  оценят  параметрите  на  квадратната  функция  се  изчисляват  изгладените 

стойности  (

𝑌�

𝑖

), 

като  стойностите  за  променливата  t  се  заместват  последователно  в 

оценената функция 

𝑌�

= a

0

 + a

1

t

 

+ a

2

t

2

 

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

+

+

=

+

+

=

+

+

=

4

2

3

1

2

0

2

3

2

2

1

0

2

2

1

0

t

a

t

a

t

a

Y

t

t

a

t

a

t

a

tY

t

a

t

a

Na

Y

Изследване на 

основната тенденция 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

 12 

съответната функция, описваща тенденцията на развитие. 

ъс 

Задачи 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

13 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

14 

Разполагаме  информация  за  печалбата 

на  караоке  клуб  „Любимата  ми  стара 

градска  песен“  (в  хил.  лева)  за  периода 
2004  –  2013 

година. Да се характеризира 

тенденцията на развитие. 

Аналитичен метод за 

изследване на тенденцията 

хон. ас. С. Николова 

упражнение по статистика, поток 195 

15 

Аналитичен метод за изследване на 

тенденцията  

Y

i

 = a

0

 + 

а

1

t

i

 

 

години  Y

i

 

t

i

 

Y

i

t

i

 

2004 

39 

1 

39 

1 

40,382 

2005 

41 

2 

82 

4 

40,764 

2006 

43 

3 

129 

9 

41,146 

2007 

40 

4 

160 

16 

41,528 

2008 

43 

5 

215 

25 

41,910 

2009 

44 

6 

264 

36 

42,292 

2010 

41 

7 

287 

49 

42,674 

2011 

43 

8 

344 

64 

43,056 

2012 

43 

9 

387 

81 

43,438 

2013 

44 

10 

440  100 

43,820 

N = 10  421 

55 

2347  385 

421,010 

  

40,0 + 0,382t

i

 

-3,1 

9,61  -1,382  1,9099 

-1,1 

1,21  0,236  0,0557 

0,9 

0,81  1,854  3,4373 

-2,1 

4,41  -1,528  2,3348 

0,9 

0,81  1,090  1,1881 

1,9 

3,61  1,708  2,9173 

-1,1 

1,21  -1,674  2,8023 

0,9 

0,81  -0,056  0,0031 

0,9 

0,81  -0,438  0,1918 

1,9 

3,61  0,180  0,0324 
26,9 

14,8727